1.概述

在本教程中,我们研究了用于计算球面上的两个点之间的距离的毛带公式的定义和用法。

我们首先讨论笛卡尔和极坐标系点之间测量距离的问题。

然后,我们将极地系统扩展到球形坐标系。在这种情况下,我们将定义用于计算地理距离的Haversine公式,作为球体上点之间的大圆距离的一般问题的实例化。

在本教程结束时,我们知道如何实现用于计算地球表面点之间的近似距离的哈布林公式。

2.为什么我们需要Haversine公式?

2.1。对伟大界的直观理解

计算巨大圆圈距离是任何典型功能地理空间信息系统。这个功能让我们确定最短的距离需要沿地球表面行进,以便在离开另一种位置时达到一个位置:

Haversine公式通常用于此目的,因为它给了我们一种联系方式纬度和纵向到巨大的圆圈距离。

2.2。什么是巨大的圆圈距离?

Haversine公式的最重要的概念是球体中的一个很好的圆圈。我们可以将伟大的界点视为某些特定平面和球面之间的交叉点。一个球体,其表面是球形,可以以无限数量的方式由平面交叉:

这些飞机,然而,只有一个子集,也与球体的中心相交。如果平面与球体的中心相交,我们称之为一个很棒的圆圈,其中包含与该球体的交叉点的点数:

当我们在球形表面上有两个点时,我们可以测量它们的距离作为在唯一穿过它们的唯一大圈子中加入它们的路径的长度。这条路径也称为测地连接两个点,它是最短的路径,它绑定到球面本身。

2.3。但地球不是平底吗?

如果我们正在进行三维平坦空间,我们不需要在计算距离时考虑伟大的圆圈。事实上,我们只需测量连接两点的直接线的长度,并认为作为从另一个到达的最短距离所需的最短距离:

这种距离被称为欧几里德距离,它适合平面。欧几里德距离大近似的真实世界距离短鳞片的事实当然是一个有利于这一想法的良好论点地球大多是平的。但是,如果我们考虑更大的尺度,我们的工作可能变得更加复杂,并且我们的欧几里德近似随着点之间的距离而变得不利。

2.4。不仅适用于地球表面

然而,除了跨越地球表面,当我们可能不得不使用大圈距离时。

例如,我们可以限制沿着具有恒定引力潜力的路径行进,就像这种情况一样轨道锻造身体。如果我们在地球地球静止轨道处于地球静止轨道,这是这种情况,因此我们迫切地引力潜力的表面:

如果我们对航空公司路线进行飞行计划,可能会出现另一个类似的情况。飞行器的途径包括飞机必须在行驶路径的一部分期间保持的高度。当高度是恒定的时候,我们可以说运动发生在地球周围的大圆圈上

该圆圈不位于地球表面上,而是在球形表面上具有与地球相同的中心和更大的半径。

然而,在实践中,伟大的圆圈通常涉及与地球中心保持相同的距离,因此具有与重力有关。然而,即使我们不受引力限制的约束,我们仍然可以沿着伟大的圈子出于其他原因旅行。

例如,考虑原子周围电子的运动:

产生弯曲运动的力是电磁,而不是引力的,并且所得到的运动沿着细胞核周围的圆圈进行。一般来说,如果我们正在研究的运动涉及横跨球面的运动,那么我们可以应用Haversine公式来计算其长度

2.5。距离公式应该包含什么?

我们现在可以对用于在球面中的巨大圆圈的距离计算的公式的内容来起草一些预金宝搏官网188be期。

我们知道球体的半径以某种方式重要,因此球体的半径越大,其表面的任何两个点之间的距离越大。

因此,这告诉我们,距离应该是球体的半径的单调增加函数。如果R.是半径和D(r)是距离作为功能R.,我们可以这么说r_1> r_2 \ to d(r_1)> d(r_2)

我们还可以想象测量彼此对应的两点之间的退化距离,A \ Equiv B.。根据定义距离d_ {ab}(r)预计为零,对于任何值都是如此R.因此,操作员\ textbf {h(a,b)}这两点时等于零\ textbf {a}\ textbf {b}对应,乘以半径R.在公式中d_ {ab} = d(r,h(a,b)),这样h(a,b)= 0 \到d(r,h(a,b))= 0 \ \ forall r \ in \ mathbb {r} ^ +

运营商h(a,b)因此,由于两点与中心相反,因此球面上的两个点之间的距离最大,所以两个点的距离最大,因为如果两个点相对于中心相反,则运营商\ textbf {h(a,b)}也是上限。因为我们知道R.乘法h(a,b)D.公式,因为距离D.是上限r \ pi., 这意味着h(a,b)= \ pi如果一种B.是相反的。

因此,这是我们迄今讨论的大圆圈距离公式的约束列表:

  • d_ {ab} = r \ time h(a,b)
  • r = 0 \ to d_ {ab} = 0 \ lightarrow a \ Equiv b
  • r_1> r_2 \ to d_ {ab}(r_1)> d_ {ab}(r_2)
  • A \ Equiv B \ Leftrightarrow H(a,b)= 0
  • 0 \ leq h(a,b)\ leq \ pi
  • 0 \ leq d_ {ab} \ leq r \ pi

Haversine公式满足所有这些要求。在下一节中,我们将看到如何从关于平面空间中的距离的考虑来源,然后从三角法律应用到曲线空间。

3.平坦和球面表面的距离

3.1。欧几里德距离

在平坦的表面中,我们通常通过使用来计算点之间的距离l ^ 2.代表两点的载体的规范。这l ^ 2.规范是我们之前叫做的欧几里德距离

在竞争的表面,如果a =(x_a,y_a)b =(x_b,y_b)是两点,我们可以使用Pythagora的等价来计算距离轻拍)作为d(a,b)= \ sqrt {(b_x  -  a_x)^ 2 +(b_y  -  a_y)^ 2}

QuickLatex.com呈现

更一般的是,如果矢量空间是N- 多维,我们可以计算距离d(a,b)= \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n(b_i  -  a_i)^ 2}, 在哪里A_I.是个一世-th的组成部分一种

3.2。余弦距离

然而,如果双压平面是极性的,则点向量的两个组件中的一个不再表示距离;而是,一个角度:

QuickLatex.com呈现

因此,前一个公式不适用于极性坐标系。如果我们定义点a =(r_a,\ theta_a)b =(r_b,\ theta_b),我们可以计算他们的距离d(a,b)= \ sqrt {r_a ^ 2 + r_b ^ 2  -  2 r_a r_b \ cos(\ theta_a  -  \ theta_b)}

然而,对于具有阳性曲率的表面,这是不可应用的。事实上,我们迄今为止所做的考虑因素仅适用于在平面表面上计算的距离,而是通常有效。

因此,我们现在将看到如何首先将极性坐标系扩展到三个维度,然后如何计算新系统中的距离。

4. Haversine公式

4.1。三维极性坐标系

有两种主要方法用于将极坐标系扩展到第三维度。

首先是考虑附加的第三尺寸,作为从平面极性系统的轴线正交的从任意选择的平面的距离

QuickLatex.com呈现

该系统称为圆柱坐标系。另一个选项是我们在地理空间分析中使用的选项,而是接受了球形坐标系的名称。

球形坐标系是极性系统,其中额外的尺寸也是极性的。在其中,球形表面被定义为具有距离原点的恒定径向距离的一组点:

QuickLatex.com呈现

在球形坐标系中,我们还可以定义大圆圈作为位于穿过原点的平面和球面本身之间的交叉点的一组点,如我们之前所做的那样:

QuickLatex.com呈现

在球形坐标系中,球面上的两个点之间的距离通常定义为圆圈距离。这意味着我们将其测量为包含两点的大圆圈的长度。由于只有一个巨大的圆圈穿过球面上的任何给定的点,因此该距离是独特的。

4.2。海岸公式的定义

我们现在可以定义Haversine的公式,用于计算球面坐标系中的两个点之间的距离。公式本身很简单,它适用于任何对给定半径的径向坐标定义的一对点:

QuickLatex.com呈现

让我们定义两点一种B.根据他们各自的纬度\ phi.和经度\ lambda., 作为a =(\ phi_a,\ lambda_a)b =(\ phi_b,\ lambda_b)分别在弧度中表达。我们还定义了之间的大圆圈距离一种B.作为轻拍}

自从轻拍}是一个半径的圆圈的弧R.和中心角度\θ., 我们知道d_ {ab} = r \ times \ theta。在这个系统中,Haversine的法律\ text {hav}(\ theta)对应于中心角度\θ.是:

\文本{hav}(\ theta)= \ text {hav}(\ phi_b  -  \ phi_a)+ \ cos(\ phi_b)\ cos(\ phi_a)\ text {hav}(\ lambda_b  -  \ lambda_a)

一旦我们计算了\ text {hav}(\ theta)对于一对积分(a,b)然后,我们可以计算轻拍}通过使用逆haversine函数\ theta = \ text {Archav}(\ text {hav}(\ theta))。如果我们这样做,我们最终可以计算轻拍}作为:

d_ {ab} = r \ times \ text {Archav}(\ text {hav}(\ theta))

在其计算中,我们只需更换\ text {hav}(\ theta)通过上面定义的完整表达,就纬度而言\ phi_a,\ phi_b和纵向\ lambda_a,\ lambda_b一种B.

4.3。虽然地球不是球形

该等式是半径的参数R.球形表面。在地球表面的坐标的情况下,这不是完全球形的,它通常使用半径的近似度量。这是因为表面的半径变化\ min(r)\约6356 \ text {km}\ max(r)\约6378 \ text {km},所以需要平均值。

一般来说,价值\ overline {r} = 6371 \ text {km}是最常用的。但是,如果我们有先验知识,这两点更接近杆子或赤道,我们可能会考虑更换它\ min(r)或者\ max(r), 分别。

结论

在本文中,我们研究了用于计算球面表面的大圆圈的海岸公式。

我们首先通过识别沿着伟大圈子发生的运动的例子来研究公式后面的理由。

然后,我们讨论了计算笛卡尔和极性坐标系中的距离的问题。

最后,我们概括了计算偏光球系统距离的问题。在这种情况下,我们将在球面表面上研究了较大的圆圈距离的海岸公式。

评论在本文上关闭!